Couples et Suites de variables discrètes

Couples de variable aléatoires

• Dans toute cette partie, \( X \) et \( Y \) désignent deux variables discrètes définies sur un même espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \).
• On note :
• \( X(\Omega) = \{ x_i \, | \, i \in I \}\) et \(Y(\Omega) = \{ y_j \, | \, j \in J \} \)

Définition 1

• On appelle couple de variables aléatoires discrètes et on note \( (X, Y) \), toute application de \( \Omega \) vers \( \mathbb{R}^2 \) définie par :
• \( \omega \mapsto (X(\omega), Y(\omega)) \)

Définition 2

• On appelle loi du couple de variables aléatoires discrètes \( (X, Y) \), ou encore la conjointe des variables \( X \) et \( Y \), l’ensemble des couples \( (x_i, y_j; p_{i,j}) \), où :
• \( x_i \in X(\Omega), \, y_j \in Y(\Omega) \)
• \( p_{i,j} = P(X = x_i \cap Y = y_j) \)

Exemple 1 :

• \( X(\Omega) = \{ x_1, x_2, x_3 \}, \, Y(\Omega) = \{ y_1, y_2, y_3, y_4 \} \)
• Tableau de probabilités :

\( x_i / y_j \)	\( y_1 \)	\( y_2 \)	\( y_3 \)	\( y_4 \)
\( x_1 \)	\( p_{1,1} \)	\( p_{1,2} \)	\( p_{1,3} \)	\( p_{1,4} \)
\( x_2 \)	\( p_{2,1} \)	\( p_{2,2} \)	\( p_{2,3} \)	\( p_{2,4} \)
\( x_3 \)	\( p_{3,1} \)	\( p_{3,2} \)	\( p_{3,3} \)	\( p_{3,4} \)

Exemple 2 :

• Une urne contient 2 boules blanches, 3 boules rouges et 4 boules bleues. On extrait 3 boules de l’urne.
• On note \( X \) le nombre de boules blanches parmi les 3 boules, et \( Y \) le nombre de boules rouges.
• Déterminer la loi du couple \( (X, Y) \).
• \( p(X = 2 \cap Y = 2) = 0 \)
• \( p(X = i \cap Y = j) = 0 \) si \( i + j > 3 \)
• \( p(X = 1 \cap Y = 1) = \frac{C_2^1 \cdot C_3^1 \cdot C_4^1}{C_9^3} \)
• \( p(X = i \cap Y = j) = \frac{C_2^i \cdot C_3^j \cdot C_4^{3-i-j}}{C_9^3} \)
• \( p(X = 0 \cap Y = 0) = \frac{C_2^0 \cdot C_3^0 \cdot C_4^3}{C_9^3} = \frac{4}{84} \)

Y	0	1	2	3
X = 0	\( \frac{4}{84} \)	\( \frac{18}{84} \)	\( \frac{12}{84} \)	\( \frac{1}{84} \)
X = 1	\( \frac{1}{84} \)	\( \frac{6}{84} \)	\( \frac{2}{84} \)	\( 0 \)
X = 2	\( 0 \)	\( \frac{1}{84} \)	\( \frac{1}{84} \)	\( 0 \)

Exemple 3 :

• Dans une succession de pile ou face pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est \( p \in ]0, 1] \) et la probabilité d’obtenir face est \( q = 1 - p \).
• On note \( X \) le rang du premier pile et \( Y \) le rang d’apparition du deuxième pile.
• Déterminer la loi du couple \( (X, Y) \).
• \( X(\Omega) = \mathbb{N}^* \)
• \( Y(\Omega) = \mathbb{N} - \{0, 1\} \)
• \( i \in X(\Omega), \, j \in Y(\Omega) \)
• \( P(X = i \cap Y = j) = 0 \) si \( i \geq j \)
• \( P(X = i \cap Y = j) = P(F_1 \cap F_2 \cap \cdots \cap F_{i-1} \cap P_i \cap F_{i+1} \cap \cdots \cap F_{j-1} \cap P_j) \)
• Les lancers sont indépendants, donc :
• \( P(X = i \cap Y = j) = P(F_1) \cdot P(F_2) \cdots P(F_{i-1}) \cdot P(P_i) \cdot P(F_{i+1}) \cdots P(F_{j-1}) \cdot P(P_j) \)
• \( P(X = i \cap Y = j) = q^{i-1} \cdot p \cdot q^{j-i-1} \cdot p \)
• \( P(X = i \cap Y = j) = q^{j-2} \cdot p^2 \)

Lois marginales

Définition 1

• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires discrètes. La loi de \( X \) est appelée la première loi marginale du couple \( (X, Y) \), et la loi de \( Y \) est appelée la deuxième loi marginale du couple \( (X, Y) \).
• Lorsque l’on connaît la loi du couple \( (X, Y) \), on peut en déduire la loi de \( X \) et la loi de \( Y \) grâce à la formule des probabilités totales :
• Soit \( (X, Y) \) un couple de variables aléatoires, alors on a :
• \( \forall i \in I, \, P(X = x_i) = \sum_{j \in J} P(X = x_i \cap Y = y_j) \)
• \( \forall j \in J, \, P(Y = y_j) = \sum_{i \in I} P(X = x_i \cap Y = y_j) \)

Indépendance de variable discrètes

Deux variables

Définition

• On dit que deux variables aléatoires discrètes \( X \) et \( Y \) sont indépendants si :
• \( \forall (i, j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), \, P(X = x_i \cap Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j) \)

Propriétés

• Si \( X \) et \( Y \) sont indépendants, on a aussi :
• \( P(X \leq x \cap Y \leq y) = P(X \leq x) \cdot P(Y \leq y) \)
• Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions numériques définies respectivement sur \( X(\Omega) \) et \( Y(\Omega) \), alors \( f(X) \) et \( g(Y) \) sont indépendants.

n variables

Définition

• Soient \( X_1, \dots, X_n \) des variables aléatoires discrètes, on dit que les variables \( X_1, \dots, X_n \) sont mutuellement indépendantes si :
• \( P(X_1 = x_1 \cap \cdots \cap X_n = x_n) = P(X_1 = x_1) \cdot \cdots \cdot P(X_n = x_n) \)

Théorème de transfert

• \( E(g(X, Y)) = \sum_{x \in X(\Omega) , y \in Y(\Omega)} g(x, y) \, P(X = x \cap Y = y) \)
• Pour une seule variable :
• \( E(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) \, P(X = x) \)

Propriété

• \( E(XY) = \sum_{x, y} x y \, P(X = x \cap Y = y) \)
• Si \( X \) et \( Y \) sont indépendants, alors :
• \( E(XY) = E(X) \cdot E(Y) \)

Démonstration

• \( E(XY) = \sum_{x, y} x y \, P(X = x \cap Y = y) \)
• \( X \) et \( Y \) indépendants, donc \( P(X = x \cap Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y) \)
• Donc :
• \( E(XY) = \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)} x y \, P(X = x) \cdot P(Y = y) \)
• \( = \sum_{x \in X(\Omega)} x \, P(X = x) \cdot \sum_{y \in Y(\Omega)} y \, P(Y = y) \)
• \( = E(X) \cdot E(Y) \)

Attention

• La réciproque de cette propriété est fausse :
• \( E(XY) = E(X) \cdot E(Y) \) n'implique pas que \( X \) et \( Y \) sont indépendants.

Covariance et coefficient de corrélation

Définition

• Soient \( X \) et \( Y \) deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance.
• On appelle covariance de \( X \) et \( Y \) le nombre réel :
• \( \text{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) \)

Propriétés

• Si \( \text{cov}(X, Y) > 0 \) : \( X \) et \( Y \) varient dans le même sens.
• Si \( \text{cov}(X, Y) < 0 \) : \( X \) et \( Y \) varient dans des sens contraires.

Théorème

• Si \( X \) et \( Y \) admettent un moment d’ordre 2, alors la covariance de \( X \) et \( Y \) existe et on a :
• \( \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \)

Démonstration

• \( \text{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) \)
• \( \text{cov}(X, Y) = E(XY - XE(Y) - E(X)Y + E(X)E(Y)) \)
• \( \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(XE(Y)) - E(E(X)Y) + E(E(X)E(Y)) \)
• \( \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y) \)
• \( \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \)
• D’où \( \text{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \)
• C’est cette formule que l’on va utiliser pour calculer la covariance.

Remarque

• Si \( Y = X \) :
• \( \text{cov}(X, X) = E(XX) - E(X)E(X) \)
• \( \text{cov}(X, X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \text{VAR}(X) \)

Corollaire

• Si \( X \) et \( Y \) sont indépendants, alors \( \text{cov}(X, Y) = 0 \).
• Attention : \( \text{cov}(X, Y) = 0 \) n’implique pas que \( X \) et \( Y \) sont indépendants.
• Exemple : Si \( \text{cov}(X, Y) \neq 0 \), alors \( X \) et \( Y \) ne sont pas indépendants.

Définition

• Si \( X \) et \( Y \) sont deux variables telles que \( \text{cov}(X, Y) = 0 \), on dit que les variables sont non corrélées.

Propriétés

• Soient \( X \), \( X' \), \( Y \) et \( Y' \) quatre variables discrètes admettant des moments d’ordre 2 et \( a \), \( b \) deux réels, on a :
• \( \text{cov}(aX + bX', Y) = a \text{cov}(X, Y) + b \text{cov}(X', Y) \)
• \( \text{cov}(X, aY + bY') = a \text{cov}(X, Y) + b \text{cov}(X, Y') \)

Définition

• Si \( \sigma(X) \neq 0 \) et \( \sigma(Y) \neq 0 \), on appelle coefficient de corrélation :
• \( \rho(X, Y) = r(X, Y) = \frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)} \)

Exercice

Théorème

Démonstration