Variables aléatoires

Variables aléatoires

Définition
Remarque
Exemple
Définition
Noté bien
Exercice

Fonction de repartition

Définition
Propriété
Suite d'exercice
Propriétés
Théorème

Moment d'une variable discrète

Espérance
Suite d'exercice
Corollaire
Propriété d'esperance

Révision sur les séries numériques

Généralité
À rétenir

Théorème de transfert
Moment d'ordre

Définition
Propriété
Corollaire

Variance et écart type

Définition
Remarque
Théorème
Exercice
Propriété
Définition
Propriété

Variables aléatoires

Une variable aléatoire réelle (notée \( VA \)) est un moyen pour coder numériquement les classes d'événements vérifiant une certaine propriété.

Définition

Soit \((\Omega, \mathcal{A})\) un espace probabilisable, on appelle variable aléatoire réelle (VAR) discrète définie sur \((\Omega, \mathcal{A})\) toute application \(X\) de \(\Omega\) vers \(\mathbb{R}\) telle que :
\( X(\Omega) = \{ x_i ; i \in I \} \) avec \( I = \mathbb{N} \)
On note de leurs parties finies :
\(\forall x \in X(\Omega), \quad \{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = x \} \in \Omega \)

Remarque

\( X(\Omega) \) est l'ensemble des valeurs prises par \( X \).
Si \( X(\Omega) \) est un ensemble fini, on dit que \( X \) est une variable discrète finie, sinon on dit que \( X \) est une variable discrète infinie.

Exemple

Je lance 2 dés :

\(\Omega = \{(1, 1), (1, 2), \ldots, (1, 6),\)
\((2, 1), (2,2), \ldots, (2,6),\)
\(\ldots\)
\((6, 1), (6,2), \ldots, (6,6)\}\)
\(\text{card}(\Omega) = 6 \times 6 = 36\)
Soit \( X \) la somme des deux valeurs des deux dés :
\( X(\Omega) = \{ 2, 3, 4, 5, \dots, 12 \} \)
\( P(X = 2) = \frac{1}{36} \)
\( P(X = 3) = P(\omega \mid X(\omega) = 3) = \frac{2}{36} \)

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(P(X)\)	\(\frac{1}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)	\(\frac{3}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{6}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{3}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)	\(\frac{1}{36}\)

\( \sum P_k = 1\)

\(P(X \leq 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\)
ou bien
\(P(X \leq 5) = P\left(\omega / X(\omega) \leq 5 \right) = P\left(\{1,1\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,2\}, \{3,2\}, \{4,1\}\right)\)

Définition

On appelle loi de probabilité de la variable A.R. discrète \( X \)
Constituée d'un ensemble de couples \((x_i, p_i)\) où \(x_i \in X(\Omega)\) et \(p_i = P(X = x_i)\)

Noté bien

Lorsque vous devez répondre à la question "déterminer la loi de \( X \)", il faut commencer par donner clairement \( X(\Omega) \), et puis pour chaque élément \( x_i \) de cet ensemble \( X(\Omega) \), il faut donner \( P(X = x_i) \).

Exercice

Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires.
On tire les boules une à une sans les remettre jusqu'à ce qu'il ne reste que des boules d'une seule couleur dans l'urne.
Soit \( X \), le nombre de tirages nécessaires. Quelle est la loi de \( X \) ?

Correction

\( X(\Omega) = \{2, 3, 4, 5\} \)
\( P(X = 2) = P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P_{B_1}(B_2) \)
\(= \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15} \)
\( P(X = 3) = P(B_1 \cap N_{B_2} \cap B_3) \cup P(N_{B_1} \cap B_2 \cap N_{B_3}) \)
\(= P(B_1 \cap N_{B_2} \cap B_3) + P(N_{B_1} \cap B_2 \cap N_{B_3}) \)
\(= P(B_1) \cdot P_{B_1}(N_2) \cdot P_{B_1 \cap N_{B_2}}(B_3) + P(N_1) \cdot P_{N_1}(B_2) \cdot P_{N_1 \cap B_2}(B_3) \)
\(= \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15} \)
\( P(X = 4) = P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 \cap N_4) \cup P(N_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap B_4) \)
\( \cup \, P(B_1 \cap N_2 \cap B_3 \cap N_4) \cup P(N_1\cap N_2 \cap N_3 \cap B_4) \)
\(= P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 \cap N_4) + P(N_1 \cap B_2 \cap N_3 \cap B_4) + P(B_1 \cap N_2 \cap B_3 \cap N_4) \)
\(+ P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 \cap B_4)\)
\(= \dfrac{4}{15} \)
\( P(X = 5) = 1 - (P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)) \)
\(= 1 - \dfrac{1}{15} - \dfrac{2}{15} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{15 - 7}{15} = \dfrac{8}{15} \)

Fonction de repartition

Définition

On appelle fonction de répartition de \( X \) l'application \( F : \mathbb{R} \rightarrow [0,1] \) définie par \( F(x) = P(X \leq x) \).

Propriété

La fonction de répartition d'une variable discrète est une fonction en escalier.
\[ 0 \leq F(x) = P(X \leq x) \leq 1 \]

Suite d'exercice

\( X(\omega) \)	2	3	4	5
\( P(X = x) \)	\( \dfrac{1}{15} \)	\( \dfrac{2}{15} \)	\( \dfrac{4}{15} \)	\( \dfrac{8}{15} \)

Si \( x < 2 \), alors \( F(x)=0 \).
Si \( 2 \leq x < 3 \), alors \( F(x)=P(X \leq 2)=P(X=2)=\dfrac{1}{15} \).
Si \( 3 \leq x < 4 \), alors \( F(x)=P(X \leq 3)=P(X=2) + P(X=3) \)
\(= \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{3}{15} \)
Si \( 4 \leq x < 5 \), alors \( F(x)=P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \)
\(= \dfrac{1}{15} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} \)
Si \( 5 \leq x \), alors \( F(x) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1\)

Propriétés

1. \( \forall x \in \mathbb{R}, \, F(x) \in [0, 1] \)
Démonstration : \( 0 \leq F(x) = P(X \leq x) \leq 1 \)
2. \( F \) est croissante
Démonstration : si \( x < y \)
\( \{ X \leq x \} \subset \{ X \leq y \} \)
\( \Rightarrow P(X \leq x) \leq P(X \leq y) \)
\( \Rightarrow F(x) \leq F(y) \)
3. \( \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \)
4. \( \forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, \, P(a < X \leq b)=F(b) - F(a) \)
Démonstration : \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow a < X \leq b=\{ x \leq b \} \backslash \{ x \leq a \} \)
\( P(a < X \leq b)=P(X \leq b) - P(X \leq a) \)
\( P(a < X \leq b)=F(b) - F(a) \)

Théorème

Caractérisation de la loi d'une variable aléatoire discrète à l'aide de sa fonction de répartition.
On rappelle \( X(\Omega) = \{ x_i \, | \, i \in I \} \) où les \( x_i \) sont rangés par ordre croissant, c'est-à-dire \( x_{i-1} \leq x_i \).
On a \( P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1}) \).
Exemples :

\( F(3) - F(2) = P(X = 3) + P(X = 2) - P(X = 2) = P(X = 3) \)
\( F(4) - F(3) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2) = P(X = 4) \)

Moment d'une variable discrète

Soit \( X(\Omega) = \{ x_i \, | \, i \in I \} \) et \( p_i = P(X = x_i) \).

Espérance

On dit que \( X \) admet une espérance ou que l'espérance de \( X \) existe lorsque \( X(\Omega) \) est fini ou \( \sum x_i \, P(X = x_i) \) est absolument convergente.
On appelle alors espérance de \( X \) le réel \[ E(X) = \sum_{i \in I} x_i \, P(X = x_i) \]
\( E(X) \) est une moyenne pondérée des valeurs prises par \( X \).
On note parfois : \( E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \, P(X = x) \)

Suite d'exercice

\( E(X) = \dfrac{2}{15} + \dfrac{6}{15} + \dfrac{16}{15} + \dfrac{40}{15} = \dfrac{64}{15} \)

Corollaire

\( E(aX + b) = a \, E(X) + b \)
\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)
Si \( E(X) = 0 \), on dit que \( X \) est une variable centrée.

Propriété d'esperance

\( E(X) = \sum x_k \, P(X = x_k) \)
\( E(X^2) = \sum x_k^2 \, P(X = x_k) \)
\( E(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x_k) \, P(X = x_k) \)

Révision sur les séries numériques

\( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{n}\)
\( \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5} + \dots + \dfrac{1}{n(n+1)} \)
\( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \)

Généralité

On appelle série de terme général \( U_n \), la suite \( (S_n) \) définie par \( S_n = \sum_{k=0}^{n} U_k \).
\( S_n \) s'appelle la somme partielle d'ordre \( n \) de la série.
On notera \( \sum U_n \), la série de terme général \( U_n \).

\( u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n \)
\( S_0 = u_0 \)
\( S_1 = u_0 + u_1 \)
\( S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_n \)
\( \sum u_k \) converge \( \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty} S_n \) existe.
\( 1 + a + a^2 + \dots + a^n + \dots = \sum_{0}^{+\infty} a^k \)

Soit \( S_n = 1 + a + a^2 + \dots + a^n = \dfrac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \) (somme d'une suite géométrique)

Si \( a \neq 1 \), alors \( -1 < a < 1 \)

\( \lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - a} \)
\( \left( \lim_{n \to +\infty} a^{n+1} = 0 \right) \)
On a donc \( \lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{1}{1 - a} = \sum_{0}^{\infty} a^k = \dfrac{1}{1 - a} \)

Si \( a = 1 \)

Alors \( S_n = 1 + a + \dots + a^n = n + 1 \)
\( \lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty \)
D'où \( \sum a^k \) diverge

Si \( a > 1 \) ou \( a < -1 \)

\( \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \) est divergente
D'où \( \sum a^k \) diverge

Donc \( \sum a^k \) converge \( \Leftrightarrow -1 < a < 1 \)
Conclusion :

Si \( |a| < 1 \), la série converge et la somme vaut \( \dfrac{1}{1 - a} \)
Si \( |a| > 1 \) ou si \( a = -1 \), la série diverge
Si \( a = 1 \), alors \( S_n = n + 1 \)

À rétenir

On dit que la série de terme général \( U_n \) converge \( \Leftrightarrow \) la suite \( S_n = \sum_{k=0}^{n} U_k \) converge.
Si \( S_n \) diverge, on dit que la série de terme général \( U_n \) diverge.
Décomposition de \( S_n \) :

\( S_n = U_0 + U_1 + \dots + U_n \)
\( S_{n-1} = U_0 + U_1 + \dots + U_{n-1} \)
\( S_n - S_{n-1} = U_n \)
Si \( S_n \to L \), alors \( U_n \to 0 \)

Condition nécessaire de convergence d'une série :

Si \( \sum U_k \) converge, alors \( U_n \to 0 \)
La réciproque n'est pas vraie.

Exemples de convergence et divergence :

\( \sum \dfrac{1}{n^2} \) : Converge car \(\alpha > 1 \)
\( \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} \) : Diverge
\( \sum \dfrac{1}{n^{3/2}} \) : Converge
\( \sum \dfrac{1}{n} \) : Diverge

Séries géométriques :

Pour \( q \neq 1 \), \( \sum q^k \) converge si \( |q| < 1 \) et sa somme vaut \( \dfrac{1}{1 - q} \).
Si \( |q| > 1 \) ou \( q = -1 \), la série diverge.
Si \( q = 1 \), alors \( S_n = n + 1 \).
À rétenir :
Si \( q \in ]-1, 1[ \), alors
- \( \sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \dfrac{1}{1 - q} \)
- \( \sum_{k=1}^{+\infty} k \, q^{k-1} = \dfrac{1}{(1 - q)^2} \)
- \( \sum_{k=1}^{+\infty} k(k-1) \, q^{k-2} = \dfrac{2}{(1 - q)^3} \)
Démonstration :

Pour \( -1 < x < 1 \) :

\( \sum_{k=0}^{n} x^k = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \)

\( \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = \dfrac{-(n+1)x^n (1 - x) + (1 - x^{n+1})}{(1 - x)^2} \to \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) lorsque \( n \to +\infty \)
Donc, \( \sum_{k=1}^{+\infty} k x^{k-1} = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \)

Théorème de transfert

Si \( X(\Omega) \) est fini ou si \( \sum g(x) \, P(X = x) \) converge absolument, alors la variable \( g(x) \) admet une espérance et
\( E(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) \, P(X = x) \)

Moment d'ordre

Définition

Soit \( r \in \mathbb{N}^* \). Si \( X \) admet une espérance d'ordre \( r \), qui est le réel \( m_r(X) = E(X^r) \), alors
\( E(X^r) = \sum_{x \in X(\Omega)} x^r \, P(X = x) \)

Propriété

Si \( r \in \mathbb{N}^* \) et si \( X \) admet un moment d'ordre \( r \), alors \( X \) admet des moments d'ordre \( s \) pour tout \( s \in [1, r] \).

Corollaire

Si \( E(X^2) \) existe, alors \( E(X) \) existe.

Variance et l'écart type

Définition

Soit \( X \) une variable aléatoire discrète admettant une espérance et telle que \( X - E(X) \) admet un moment d'ordre 2.
On appelle variance de \( X \) le réel \( V(X) = E((X - E(X))^2) \geq 0 \).
De plus, lorsque \( V(X) \) existe, on appelle écart-type de \( X \) le réel \( \sigma = \sqrt{V(X)} \).

Remarque

Si \( X \) n'admet pas d'espérance, \( X \) ne peut pas admettre de variance.

Théorème

Si \( V(X) \) existe alors \( V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \).
Démonstration :

\( E(aX + bY) = a \, E(X) + b \, E(Y) \)
Pour la variance :

\( V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) \)
\(= E\left(X^2 - 2X \cdot E(X) + (E(X))^2\right) \)
\(= E(X^2) - E(2X \cdot E(X)) + E((E(X))^2) \)
\(= E(X^2) - 2 \, E(X) \cdot E(X) + (E(X))^2 \)
\(= E(X^2) - (E(X))^2 \)

Exercice

\( X \)	1	2	3	4
\( P(X) \)	\( \frac{1}{6} \)	\( \frac{1}{3} \)	\( \frac{1}{3} \)	\( \frac{1}{6} \)

Calcul de l'espérance \( E(X) \) :

\( E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Calcul de \( E(X^2) \) :

\( E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{3} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{43}{6}\)

Calcul de la variance \( V(X) \) :

\( V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{43}{6} - \frac{25}{4} = \frac{11}{12}\)

Propriété

Si \( X \) est une variable aléatoire discrète admettant une variance (c'est-à-dire \( E(X) \) existe).
Pour tout \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \), \( aX + b \) admet une variance et on a :

\( V(aX + b) = a^2 V(X) \)

\( V(aX) = a^2 V(X) \)

\( V(X + b) = V(X) \)

Définition

Si \( X \) est une variable aléatoire telle que \( E(X) = 0 \), alors \( X \) est centrée.
Si \( V(X) = \sigma_X = 1 \), alors \( X \) est réduite.
Si \( E(X) = 0 \) et \( \sigma_X = 1 \), on dit que \( X \) est centrée réduite.

Propriété

\( y = X^* = \dfrac{X - E(X)}{\sigma_X} \) est une variable centrée réduite.
Démonstration :

\( E(X^*) = E\left( \dfrac{X - E(X)}{\sigma_X} \right) = \dfrac{E(X) - E(X)}{\sigma_X} = 0 \)
\( V(X^*) = V\left( \dfrac{X}{\sigma_X} \right) = \dfrac{1}{\sigma_X^2} V(X) = \dfrac{V(X)}{V(X)} = 1 \)