Lois discrètes usuelles
Lois discrètes finis
Loi de Bernouilli (ou indicatrice d'évènement)
- \(X = 0 \) si boule noir
- \(X = 1 \) si boule blanche
-
| \( X \) |
0 |
1 |
| \( P(X)\) |
\( 1 - \frac{1}{3} \) |
\( \frac{1}{3} \) |
Mise en place :
-
On considère une expérience aléatoire et \( A \) un événement lié à cette expérience tel que
\( P(A) = p \).
On définit alors la variable aléatoire \( X \) en posant :
- \( X = 1 \) si \( A \) est réalisé
- \( X = 0 \) sinon
-
\( X \) est une variable aléatoire qui prend les valeurs \( 0 \) et \( 1 \), avec :
- \( P(X = 0) = 1 - p \)
- \( P(X = 1) = p \)
-
Soit \( p \in [0,1] \), on dit que \( X \) suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \).
-
Cette loi est notée \( \mathcal{B}(p) \), parfois aussi \( \mathcal{B}(1,p) \).
Exemple :
- \( X(\Omega) = \{0, 1\} \)
-
\( P(X = 0) = 1 - p \) , \( P(X = 1) = p \)
-
| \( X \) |
0 |
1 |
| \( P \) |
\( 1 - p \) |
\( p \) |
-
Espérance : \( E(X) = p \)
-
Variance :
\[
V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 = p - p^2 = p(1 - p)
\]
-
Notons \( q = 1 - p \), alors \( V(X) = p \cdot q \)
-
L'écart type est donné par : \( \sigma_X = \sqrt{p \cdot q} \)
Loi Binomiale
Mise en place :
-
On considère une expérience et un événement \( A \) lié à l'expérience tel que \( P(A) = p
\).
-
On suppose que l'on effectue \( n \) fois l'expérience dans les mêmes conditions (avec
remise) et on considère \( X \)
le nombre de fois où \( A \) est réalisé au cours de ces expériences.
-
\( X(\Omega) = \{0, 1, 2, \ldots, n\} = [\![ 0, n ]\!] \).
-
Parmi les \( n \) expériences, il y a \( C_n^k \) façons de placer les \( k \) fois où \( A
\) est réalisé.
-
Chacun de ces \( C_n^k \) événements est réalisé avec la probabilité \( p^k (1-p)^{n-k} \),
on a donc :
\[
\forall k \in [\![ 0, n ]\!] ; P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}
\]
- Cette loi est notée \( \mathcal{B}(n,p) \) (Avec remise).
Cas d'emploi :
- Le modèle de cette loi est simple, on répète \(n\) fois une expérience aléatoire par
laquelle on
distingue deux issues possibles : le succès ou l’échec. Les essais sont indépendants, \(p\)
est
la probabilité du succès à chaque essai et \(X\) le nombre aléatoire de succès obtenus au
cours
des \(n\) essais.
Exemple :
- On lance \( n \) fois deux dés et on note \( X \), le nombre de fois où les deux dés
affichent le même résultat.
-
La probabilité que les deux dés aient le même résultat est donnée par :
\[
p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.
\]
-
Les essais sont indépendants, et à chaque fois la probabilité de succès vaut :
\[
p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.
\]
-
On a donc \( X \sim \mathcal{B}(n, \frac{1}{6}) \), où \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p = \frac{1}{6} \).
